对称差

A Δ B 的文氏图。对称差是实心绿色。

数学上，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合。 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的 XOR 运算。 集合 A 和 B 的对称差通常表示为 AΔB。 例如：集合 {1,2,3} 和 {3,4} 的对称差为 {1,2,4}。所有学生的集合和所有女性的集合的对称差为所有男性学生和所有女性非学生组成的集合。

对称差相当于两个相对补集的并集，即：

A Δ B = (A − B) ∪(B − A)

也可以表示为两个集合的并集减去它们的交集：

A Δ B = (A ∪B) − (A ∩B)

或者用 XOR 运算表示：

A Δ B = { x : (x ∈A) XOR (x ∈B) }.

对称差运算满足交换律和结合律：

A Δ B = B Δ A

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

在对称差运算中，空集是单位元，任何元素都是其自身的逆元：

A Δ Ø = A

A Δ A = Ø

综上可得，采用对称差运算，任意集合 X 的幂集是阿贝尔群。由于该群中所有元素都是其自身的负元， 这个群实际上是二元域 Z₂ 上的向量空间。若 X 有限，则以其为元素的单元素集合构成这个向量空间的基，那么向量空间的维数等于 X 的元素个数。这种构造方法用于图论，可定义图的圈空间。

对称差相对交集满足分配律：

A ∩(B Δ C) = (A ∩B) Δ (A ∩C)

表明以对称差作为加法，交集作为乘法，X 的幂集是一个环。这是布尔环的一个示例。

对称差可以在任意布尔代数中定义，写作

x Δ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y) = (x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x)

这个运算具有用集合中的对称差相同的性质。

[编辑] 参考

• 朴素集合论
• 并集
• 交集
• 补集
• 不交并